Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Область определения

Функция $y = 2\ln(x+4)^3 - 8x - 19$ определена при $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.

Шаг 2. Упростим функцию

Используем свойство логарифма: $\ln(a^n) = n\ln(a)$.

$$y = 2 \cdot 3\ln(x+4) - 8x - 19 = 6\ln(x+4) - 8x - 19$$

Шаг 3. Найдём производную

Производная логарифма: $\frac{d}{dx}\ln(x+4) = \frac{1}{x+4}$.

$$y' = 6 \cdot \frac{1}{x+4} - 8 = \frac{6}{x+4} - 8$$

Шаг 4. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{6}{x+4} - 8 = 0$$

$$\frac{6}{x+4} = 8$$

$$6 = 8(x+4)$$

$$6 = 8x + 32$$

$$8x = -26$$

$$x = -3,25$$

Шаг 5. Определим тип экстремума

Проверим знаки производной:

• При $x \in (-4; -3,25)$: $x+4 < 0,75$, так что $\frac{6}{x+4} > 8$ → $y' > 0$ (функция растёт)
• При $x > -3,25$: $x+4 > 0,75$, так что $\frac{6}{x+4} < 8$ → $y' < 0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит $x = -3,25$ — точка максимума.