Задача 503145. Исследование показательных и логарифмических функций

Сначала упростим функцию, используя свойство логарифма.

Шаг 1: Раскроем степень под логарифмом

Применим правило $\ln(a^2) = 2\ln|a|$: $$y = 2\ln|x+4| + 2x + 7$$

Шаг 2: Разберём модуль

Рассмотрим две области:

• При $x > -4$: $y = 2\ln(x+4) + 2x + 7$
• При $x < -4$: $y = 2\ln(-x-4) + 2x + 7$

Шаг 3: Найдём производную в каждой области

Для $x > -4$: $$y' = \frac{2}{x+4} + 2 = \frac{2 + 2(x+4)}{x+4} = \frac{2x+10}{x+4} = \frac{2(x+5)}{x+4}$$

Для $x < -4$: $$y' = \frac{2 \cdot (-1)}{-x-4} + 2 = \frac{-2}{-x-4} + 2 = \frac{2}{x+4} + 2 = \frac{2(x+5)}{x+4}$$

В обеих областях получается одна и та же формула производной.

Шаг 4: Найдём критические точки

Производная равна нулю при: $$2(x+5) = 0 \Rightarrow x = -5$$

Точка $x = -5$ лежит в области $x < -4$, где функция определена.

Шаг 5: Определим характер экстремума

Анализируем знак производной $y' = \frac{2(x+5)}{x+4}$:

• При $-5 < x < -4$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x < -5$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен → $y' > 0$ (функция возрастает)
• При $x > -4$: числитель положителен, знаменатель положителен → $y' > 0$ (функция возрастает)

Внимательнее: при переходе через $x = -5$ слева направо: числитель меняет знак с минуса на плюс, знаменатель всегда отрицателен до точки $-4$. Значит, $y'$ меняет знак с положительного на отрицательный (от возрастания к убыванию), что указывает на максимум в точке $x = -5$.