Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции $y = 2x - \ln(x + 3) + 7$ берём производную от каждого слагаемого:

• производная от $2x$ равна $2$
• производная от $\ln(x + 3)$ по правилу цепочки даёт $\frac{1}{x + 3}$
• константа $7$ исчезает

Получаем: $y' = 2 - \frac{1}{x + 3}$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$2 - \frac{1}{x + 3} = 0$$

Перенесём дробь в правую часть: $$2 = \frac{1}{x + 3}$$

Это значит, что $x + 3 = \frac{1}{2}$, откуда $x = -2,5$

Шаг 3. Определим характер критической точки.

Проверим знаки производной слева и справа от $x = -2,5$:

• При $x < -2,5$ (например, $x = -2,6$): $x + 3 = 0,4$, тогда $\frac{1}{0,4} = 2,5 > 2$, значит $y' = 2 - 2,5 < 0$ (функция убывает)
• При $x > -2,5$ (например, $x = -2$): $x + 3 = 1$, тогда $\frac{1}{1} = 1 < 2$, значит $y' = 2 - 1 > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.