Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование показательных и логарифмических функций

Дана функция $y = 4x - 4\ln(x + 7)$.

Шаг 1. Область определения

Логарифм определён только при положительном аргументе, поэтому $x + 7 > 0$, откуда $x > -7$. Область определения: $(-7; +\infty)$.

Шаг 2. Найдём производную

Дифференцируем по правилам:

• производная от $4x$ равна $4$
• производная от $4\ln(x + 7)$ равна $4 \cdot \frac{1}{x + 7}$ (по формуле производной логарифма)

Получаем: $y' = 4 - \frac{4}{x + 7}$

Шаг 3. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$4 - \frac{4}{x + 7} = 0$$

$$4 = \frac{4}{x + 7}$$

$$x + 7 = 1$$

$$x = -6$$

Точка $x = -6$ лежит в области определения, так как $-6 > -7$.

Шаг 4. Определим характер экстремума

Проверим знак производной слева и справа от критической точки:

• при $x \in (-7; -6)$: возьмём $x = -6,5$, тогда $y' = 4 - \frac{4}{0,5} = 4 - 8 = -4 < 0$ (функция убывает)
• при $x \in (-6; +\infty)$: возьмём $x = -5$, тогда $y' = 4 - \frac{4}{2} = 4 - 2 = 2 > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.