Задача 77446. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно исследовать её поведение с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную

$$y' = \left(\frac{x^3}{3}\right)' - (9x)' - 7' = x^2 - 9$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$x^2 - 9 = 0$$ $$(x-3)(x+3) = 0$$ $$x = 3 \text{ или } x = -3$$

Оба корня лежат на границах отрезка $[-3; 3]$.

Шаг 3. Определим знак производной на отрезке

Для $x \in (-3; 3)$ возьмём, например, $x = 0$: $$y'(0) = 0 - 9 = -9 < 0$$

Производная отрицательна на всём отрезке, значит функция убывает.

Шаг 4. Найдём наибольшее значение

Поскольку функция убывает на $[-3; 3]$, наибольшее значение достигается в левом конце отрезка:

$$y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 9 \cdot (-3) - 7 = \frac{-27}{3} + 27 - 7 = -9 + 27 - 7 = 11$$