Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно проверить критические точки внутри отрезка и концы отрезка.

Шаг 1. Найдём производную.

$$y' = 12 - 3x^2$$

Это производная суммы: константа даёт 0, линейный член 12x даёт 12, кубический член $-x^3$ даёт $-3x^2$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$12 - 3x^2 = 0$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$

Шаг 3. Определим характер поведения функции.

Проверим знак производной:

• При $x = 0$ (внутри отрезка): $y' = 12 - 0 = 12 > 0$ — функция возрастает
• При $x = -3$ (слева от −2): $y' = 12 - 27 = -15 < 0$ — убывает
• При $x = 3$ (справа от 2): $y' = 12 - 27 = -15 < 0$ — убывает

На отрезке $[-2; 2]$ функция возрастает, поскольку производная положительна на всём интервале $(-2; 2)$.

Шаг 4. Найдём наибольшее значение.

Поскольку функция возрастает на $[-2; 2]$, максимум достигается в правом конце $x = 2$: $$y(2) = 7 + 12 \cdot 2 - 2^3 = 7 + 24 - 8 = 23$$