Задача 510447. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания3.2.5 Точки экстремума функции

Найдите наибольшее значение функции $y=3 плюс 27x минус x в кубе$ на отрезке [−3; 3].

В подтеме 62 задач

Разбор

Главная идея: Функция возрастает на всём заданном отрезке (производная положительна внутри), поэтому максимум находится в правой границе отрезка.

Шаг 1. Найдём производную функции

$y = 3 + 27x - x^3$

$y' = 27 - 3x^2$

Производная позволит нам найти критические точки, где функция меняет характер монотонности.

Шаг 2. Найдём нули производной

$27 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

$x = -3$ или $x = 3$

Оба корня лежат на границах нашего отрезка.

Шаг 3. Определим знак производной на отрезке

Возьмём контрольную точку, например $x = 0$ (она внутри отрезка $[-3; 3]$ ):

$y'(0) = 27 - 3(0)^2 = 27 > 0$

Так как производная положительна внутри отрезка, функция возрастает на всём отрезке $[-3; 3]$ .

Шаг 4. Найдём наибольшее значение

Поскольку функция возрастает на отрезке, её наибольшее значение достигается в правом конце отрезка, при $x = 3$ :

$y(3) = 3 + 27 \cdot 3 - 3^3 = 3 + 81 - 27 = 57$

Забыли проверить знак производной и неправильно определили характер монотонности
Вычислили значение функции в критической точке, но не учли, что нужно сравнивать со значениями на границах отрезка
Арифметическая ошибка при вычислении: например, $3^3 = 27$ , а не $9$

Ещё задачи этой подтемы