ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 77430. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите наибольшее значение функции y=x в кубе плюс 2x в квадрате плюс x плюс 3 на отрезке левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .

В подтеме 62 задач
Разбор
Главная идея: На замкнутом отрезке максимум достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на одном из его концов. Исследуя знак производной, определяем поведение функции и находим нужный экстремум.

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции y=x3+2x2+x+3y = x^3 + 2x^2 + x + 3 вычислим производную: y′=3x2+4x+1y' = 3x^2 + 4x + 1

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: 3x2+4x+1=03x^2 + 4x + 1 = 0

Решаем через дискриминант или разложение: 3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)=03x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1) = 0

Получаем: x=−1x = -1 или x=−13x = -\frac{1}{3}

Шаг 3. Определим, какие точки попадают на отрезок.

Отрезок: [−4;−1][-4; -1]. Проверяем критические точки:

  • x=−1x = -1 — лежит на отрезке (правый конец)
  • x=−13≈−0,33x = -\frac{1}{3} \approx -0,33 — не лежит на отрезке (меньше −1-1)

Шаг 4. Проверим знаки производной.

Производная y′=(3x+1)(x+1)y' = (3x + 1)(x + 1) меняет знак в критических точках. На интервале [−4;−1][-4; -1]:

  • При x=−2x = -2: y′=(−5)(−1)=5>0y' = (-5)(-1) = 5 > 0 — функция возрастает

Это означает, что на отрезке [−4;−1][-4; -1] функция возрастает, поэтому максимум достигается в правом конце, то есть в точке x=−1x = -1.

Шаг 5. Вычислим значение функции в точке максимума.

y(−1)=(−1)3+2(−1)2+(−1)+3=−1+2−1+3=3y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3

Наибольшее значение функции на отрезке равно 3.

Типичные ошибки

  • Забыли проверить, лежит ли критическая точка на исходном отрезке — вычислили значение функции в точке, которая вне отрезка
  • Ошибка при вычислении производной: неправильно применили правила дифференцирования степенной функции
  • Не вычислили значение функции в концах отрезка, хотя это может быть необходимо при наличии нескольких кандидатов на экстремум

Ещё задачи этой подтемы