Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$ вычислим производную: $$y' = 3x^2 + 4x + 1$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$3x^2 + 4x + 1 = 0$$

Решаем через дискриминант или разложение: $$3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1) = 0$$

Получаем: $x = -1$ или $x = -\frac{1}{3}$

Шаг 3. Определим, какие точки попадают на отрезок.

Отрезок: $[-4; -1]$. Проверяем критические точки:

• $x = -1$ — лежит на отрезке (правый конец)
• $x = -\frac{1}{3} \approx -0,33$ — не лежит на отрезке (меньше $-1$)

Шаг 4. Проверим знаки производной.

Производная $y' = (3x + 1)(x + 1)$ меняет знак в критических точках. На интервале $[-4; -1]$:

• При $x = -2$: $y' = (-5)(-1) = 5 > 0$ — функция возрастает

Это означает, что на отрезке $[-4; -1]$ функция возрастает, поэтому максимум достигается в правом конце, то есть в точке $x = -1$.

Шаг 5. Вычислим значение функции в точке максимума.

$$y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$

Наибольшее значение функции на отрезке равно 3.