Задача 77434. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции $y = x^3 + 2x^2 - 4x + 4$ вычислим производную: $$y' = 3x^2 + 4x - 4$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$3x^2 + 4x - 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $$(3x - 2)(x + 2) = 0$$

Получаем: $x = -2$ или $x = \frac{2}{3}$

Шаг 3. Определим поведение функции на отрезке.

Точка $x = \frac{2}{3}$ лежит вне отрезка $[-2; 0]$, поэтому нас интересует только $x = -2$ — левый конец отрезка.

Проверим знак производной на $[-2; 0]$: возьмём $x = -1$: $$y'(-1) = 3(1) - 4 - 4 = -5 < 0$$

Производная отрицательна, значит функция убывает на всём отрезке $[-2; 0]$.

Шаг 4. Найдём наибольшее значение.

Так как функция убывает на $[-2; 0]$, наибольшее значение достигается в левом конце — при $x = -2$:

$$y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 + 8 + 8 + 4 = 12$$