Задача 77436. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Находим производную функции.

Дана функция $y = 7 + 12x - x^3$. Берём производную по переменной $x$: $$y' = 12 - 3x^2$$

Это необходимо для определения критических точек — мест, где функция может иметь экстремумы.

Шаг 2. Приравниваем производную к нулю.

Чтобы найти критические точки, решаем уравнение: $$12 - 3x^2 = 0$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = 4$$ $$x = 2 \text{ или } x = -2$$

Получили две точки-кандидата на экстремум.

Шаг 3. Определяем тип экстремума с помощью знаков производной.

Проверим знак $y'$ на промежутках:

• При $x < -2$ (например, $x = -3$): $y' = 12 - 3 \cdot 9 = 12 - 27 = -5 < 0$ — функция убывает
• При $-2 < x < 2$ (например, $x = 0$): $y' = 12 - 0 = 12 > 0$ — функция возрастает
• При $x > 2$ (например, $x = 3$): $y' = 12 - 27 = -15 < 0$ — функция убывает

Так как производная меняет знак с минуса на плюс в точке $x = -2$, функция переходит от убывания к возрастанию. Это означает, что $x = -2$ — точка минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует максимуму.