Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = \frac{x^3}{3} - 9x - 7$.

Производная: $$y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 9 = x^2 - 9$$

Это стандартное дифференцирование степенной функции: производная $x^3$ даёт $3x^2$, а затем делим на 3.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$x^2 - 9 = 0$$

Разложим по формуле разности квадратов: $$(x - 3)(x + 3) = 0$$

Получаем две критические точки: $x = 3$ и $x = -3$.

Шаг 3. Определим характер экстремумов через знаки производной.

Производная $y' = (x-3)(x+3)$ меняет знак в критических точках.

• При $x < -3$: оба множителя отрицательны, произведение положительно → $y' > 0$ (функция возрастает).
• При $-3 < x < 3$: $(x+3) > 0$, $(x-3) < 0$, произведение отрицательно → $y' < 0$ (функция убывает).
• При $x > 3$: оба множителя положительны, произведение положительно → $y' > 0$ (функция возрастает).

Шаг 4. Определим точку минимума.

В точке $x = -3$ функция переходит от возрастания к убыванию — это локальный максимум.

В точке $x = 3$ функция переходит от убывания к возрастанию — это локальный минимум.

Ответ: $x = 3$.