ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 541821. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите точку минимума функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 21x плюс 11.$

В подтеме 62 задач

Разбор

Главная идея: Найти производную, приравнять её к нулю, проверить смену знака с минуса на плюс — это гарантирует минимум.

Шаг 1. Область определения

Функция $y = x^{3/2} - 21x + 11$ содержит $x^{3/2} = x \sqrt{x}$ , поэтому определена при $x \geq 0$ .

Шаг 2. Найдём производную

Применяем правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$ .

$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 21 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 21$

Шаг 3. Приравняем производную к нулю

Найдём критические точки:

$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 21 = 0$

$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 21$

$\sqrt{x} = 14$

$x = 196$

Шаг 4. Определим знаки производной

При $0 < x < 196$ : $\sqrt{x} < 14$ , поэтому $\frac{3}{2}\sqrt{x} < 21$ , следовательно, $y' < 0$ (функция убывает).
При $x > 196$ : $\sqrt{x} > 14$ , поэтому $\frac{3}{2}\sqrt{x} > 21$ , следовательно, $y' > 0$ (функция возрастает).

Шаг 5. Вывод

Производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке $x = 196$ , значит это точка минимума.

Типичные ошибки

Забыть, что $x^{3/2}$ определена только при $x \geq 0$ , и проверить знаки производной на всей области.
Ошибиться в дифференцировании степени: забыть, что производная $x^{3/2}$ равна $\frac{3}{2}x^{1/2}$ , а не $\frac{3}{2}x^{1/3}$ .
Неправильно решить уравнение $\sqrt{x} = 14$ : написать $x = 14$ вместо $x = 196$ .

Задача 541821. Исследование степенных и иррациональных функций

Типичные ошибки

Похожие задачи (другие числа)