Задача 541377. Исследование степенных и иррациональных функций

Функция $y=x^{3/2}-18x+29$ определена при $x \geq 0$, так как требуется извлечение квадратного корня из основания степени.

Шаг 1. Найдём производную.

Применим правило дифференцирования степенной функции: производная от $x^{3/2}$ равна $\frac{3}{2}x^{1/2}$, производная от $-18x$ равна $-18$, константа исчезает.

$$y'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 18 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 18$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 18 = 0$$

$$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 18$$

$$\sqrt{x} = 12$$

$$x = 144$$

Шаг 3. Определим характер критической точки.

Проверим знак производной слева и справа от точки $x = 144$:

• При $x < 144$ (например, $x = 100$): $\sqrt{100} = 10$, поэтому $y'(100) = \frac{3}{2} \cdot 10 - 18 = 15 - 18 = -3 < 0$ (функция убывает)
• При $x > 144$ (например, $x = 169$): $\sqrt{169} = 13$, поэтому $y'(169) = \frac{3}{2} \cdot 13 - 18 = 19,5 - 18 = 1,5 > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.