Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1: Найдём производную функции

Дана функция $y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3}$.

Вычислим производную: $$y' = 9 - \frac{3x^2}{3} = 9 - x^2$$

Это разность квадратов, поэтому: $$y' = (3-x)(3+x)$$

Шаг 2: Найдём критические точки

Производная равна нулю при: $$9 - x^2 = 0 \implies x = 3 \text{ или } x = -3$$

Оба корня лежат на отрезке $[-3; 3]$.

Шаг 3: Определим знак производной

Анализируем интервалы:

• При $x \in (-3; 3)$: обе скобки $(3-x)$ и $(3+x)$ положительны, поэтому $y' > 0$
• На концах отрезка производная равна нулю

Функция возрастает на всём отрезке $[-3; 3]$.

Шаг 4: Найдём наибольшее значение

Поскольку функция возрастает на отрезке, наибольшее значение достигается в правом конце: $$y(3) = 5 + 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} = 5 + 27 - 9 = 23$$