Задача 77432. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Для функции $y = x^3 + 5x^2 + 7x - 5$ берём производную по правилу степенной функции: $$y' = 3x^2 + 10x + 7$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$3x^2 + 10x + 7 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или подбор. Корни: $$x_1 = -1, \quad x_2 = -\frac{7}{3}$$

Шаг 3. Определим знаки производной на промежутках.

Критические точки делят числовую ось на три области:

• При $x < -\frac{7}{3}$: оба множителя $(x + 1)$ и $(3x + 7)$ отрицательны, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает
• При $-\frac{7}{3} < x < -1$: множитель $(x + 1)$ отрицателен, $(3x + 7)$ положителен, поэтому $y' < 0$ — функция убывает
• При $x > -1$: оба множителя положительны, поэтому $y' > 0$ — функция возрастает

Шаг 4. Определим точку минимума.

На точке $x = -\frac{7}{3}$ функция переходит от возрастания к убыванию — это локальный максимум.

На точке $x = -1$ функция переходит от убывания к возрастанию — это локальный минимум.