Задача 77465. Исследование степенных и иррациональных функций

Исходная функция: $y = -\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 3x + 1$.

Шаг 1. Переписываем функцию в удобном виде.

Заметим, что $x\sqrt{x} = x^{3/2}$, поэтому: $$y = -\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1$$

Шаг 2. Находим производную.

Дифференцируем по правилу степенной функции: $$y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} + 3 = -x^{1/2} + 3 = -\sqrt{x} + 3$$

Область определения: $x \geq 0$ (из-за корня).

Шаг 3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю: $$-\sqrt{x} + 3 = 0$$ $$\sqrt{x} = 3$$ $$x = 9$$

Шаг 4. Определяем знак производной.

• При $0 < x < 9$: $\sqrt{x} < 3$, значит $-\sqrt{x} + 3 > 0$ — функция растёт.
• При $x > 9$: $\sqrt{x} > 3$, значит $-\sqrt{x} + 3 < 0$ — функция убывает.

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $x = 9$, что означает локальный максимум.

Ответ: $x = 9$