Задача 628240. Исследование степенных и иррациональных функций

Нужно найти наибольшее значение на отрезке, поэтому исследуем функцию с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную: $$y' = 3x^2 - 8x + 4$$

Шаг 2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$3x^2 - 8x + 4 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения или методом подбора: $$x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{2}{3}$$

Шаг 3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $[-4; -1]$:

Обе точки $x = 2$ и $x = \frac{2}{3}$ лежат правее отрезка (находятся в положительной области), значит внутри отрезка критических точек нет.

Шаг 4. Определим характер монотонности на отрезке:

Проверим знак производной в пробной точке, например $x = -3$: $$y'(-3) = 3 \cdot 9 - 8 \cdot (-3) + 4 = 27 + 24 + 4 = 55 > 0$$

Производная положительна, значит функция возрастает на всём отрезке $[-4; -1]$.

Шаг 5. Найдём наибольшее значение:

Так как функция возрастает, наибольшее значение достигается в правом конце отрезка, при $x = -1$: $$y(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 - 4 = -9$$