Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3}$.

Вычислим производную: $$y' = 0 + 9 - \frac{3x^2}{3} = 9 - x^2$$

Производная — это скорость изменения функции. Где производная равна нулю или не существует, могут быть экстремумы.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$9 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 9$$ $$x = 3 \text{ или } x = -3$$

Шаг 3. Определим характер каждой критической точки.

Основное правило: если производная меняет знак с «+» на «−», то там максимум; если с «−» на «+», то минимум.

Разложим производную: $y' = 9 - x^2 = (3-x)(3+x)$

Проверим знаки на интервалах:

• При $x < -3$: обоих множителей отрицательны → произведение положительно, $y' > 0$
• При $-3 < x < 3$: $(3-x) > 0$ и $(3+x) > 0$ → произведение положительно, $y' > 0$
• При $x > 3$: $(3-x) < 0$ и $(3+x) > 0$ → произведение отрицательно, $y' < 0$

В точке $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус — это признак максимума.