Задача 77431. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти точку максимума, нужно исследовать функцию с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную

$$y = x^3 - 5x^2 + 7x - 5$$

$$y' = 3x^2 - 10x + 7$$

Это стандартное дифференцирование степенной функции: производная каждого члена вычисляется по правилу $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$3x^2 - 10x + 7 = 0$$

Решаем через дискриминант: $$D = 100 - 84 = 16$$

$$x = \frac{10 \pm 4}{6}$$

Получаем: $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{7}{3}$.

Шаг 3. Определим знаки производной

Производная — это парабола с ветвями вверх. На промежутке $(-\infty; 1)$ она положительна, на $(1; \frac{7}{3})$ — отрицательна, на $(\frac{7}{3}; +\infty)$ — положительна.

Это значит:

• При $x < 1$ функция возрастает
• При $1 < x < \frac{7}{3}$ функция убывает
• При $x > \frac{7}{3}$ функция возрастает

Шаг 4. Найдём максимум

Точка максимума — это точка, где функция переходит с возрастания на убывание. Это происходит при $x = 1$.