Задача 77427. Исследование степенных и иррациональных функций

1. Найдём производную функции $y = x^3 + 2x^2 + x + 3$: $$y' = 3x^2 + 4x + 1$$ Берём производную каждого слагаемого по правилу степенной функции.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$3x^2 + 4x + 1 = 0$$ Через дискриминант или разложение: $(3x + 1)(x + 1) = 0$ $$x = -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x = -1$$

3. Определим знаки производной на каждом промежутке:

   • При $x < -1$: выберем $x = -2$: $y' = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$ (функция растёт)
   • При $-1 < x < -\frac{1}{3}$: выберем $x = -0,5$: $y' = 0,75 - 2 + 1 = -0,25 < 0$ (функция убывает)
   • При $x > -\frac{1}{3}$: выберем $x = 0$: $y' = 1 > 0$ (функция растёт)

4. Определим тип экстремума:

   • В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус → максимум
   • В точке $x = -\frac{1}{3}$ производная меняет знак с минуса на плюс → минимум

Точка максимума: $x = -1$