Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Для нахождения точки максимума используем стандартный алгоритм исследования функции через производную.

Шаг 1: Вычислим производную.

Для функции $y=7+12x-x^3$ берём производную от каждого слагаемого: $$y'=0+12-3x^2=12-3x^2$$

Производная степенной функции $x^n$ даёт $nx^{n-1}$, поэтому $(x^3)'=3x^2$.

Шаг 2: Найдём критические точки.

Производная равна нулю: $$12-3x^2=0$$ $$3x^2=12$$ $$x^2=4$$ $$x=-2 \text{ или } x=2$$

Шаг 3: Определим, какая точка — максимум.

Проверим знаки производной на интервалах:

• При $x<-2$ (например, $x=-3$): $y'=12-27=-15<0$ (функция убывает)
• При $-2<x<2$ (например, $x=0$): $y'=12-0=12>0$ (функция возрастает)
• При $x>2$ (например, $x=3$): $y'=12-27=-15<0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке $x=2$, значит здесь локальный максимум.