Задача 77443. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти точку максимума функции $y = \frac{x^3}{3} - 9x - 7$, нужно исследовать её поведение с помощью производной.

Шаг 1. Находим производную.

Вычислим $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 9x - 7\right)$.

Производная суммы — сумма производных:

• $(\frac{x^3}{3})' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$
• $(9x)' = 9$
• Константа: $(-7)' = 0$

Получаем: $y' = x^2 - 9$.

Шаг 2. Находим критические точки.

Производная равна нулю: $x^2 - 9 = 0$.

Разложим по формуле разности квадратов: $(x-3)(x+3) = 0$.

Критические точки: $x = -3$ и $x = 3$.

Шаг 3. Определяем знаки производной на промежутках.

Производная — парабола ветвями вверх, корни в точках $-3$ и $3$.

• На промежутке $(-\infty, -3)$: возьмём $x = -4$, тогда $y' = 16 - 9 = 7 > 0$ (функция возрастает)
• На промежутке $(-3, 3)$: возьмём $x = 0$, тогда $y' = 0 - 9 = -9 < 0$ (функция убывает)
• На промежутке $(3, +\infty)$: возьмём $x = 4$, тогда $y' = 16 - 9 = 7 > 0$ (функция возрастает)

Шаг 4. Используем первый признак экстремума.

В точке $x = -3$ производная меняет знак с положительного на отрицательный — это точка максимума.

В точке $x = 3$ производная меняет знак с отрицательного на положительный — это точка минимума.