Задача 77429. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = x^3 - 2x^2 + x + 3$. Берём производную: $$y' = 3x^2 - 4x + 1$$

Это стандартное дифференцирование степенной функции: производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравниваем производную к нулю: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение. Заметим, что $x=1$ — корень: $3 - 4 + 1 = 0$ ✓

Делим на $(x-1)$: $3x^2 - 4x + 1 = (3x - 1)(x - 1)$

Корни: $x = 1$ и $x = \frac{1}{3}$

Шаг 3. Отберём точки, попадающие в отрезок $[1;4]$.

Точка $x = \frac{1}{3} < 1$ — не входит в отрезок.

Точка $x = 1$ — входит (левая граница).

Шаг 4. Определим характер экстремума.

Проверим знак производной слева и справа от $x=1$:

• При $x = 0$: $y'(0) = 1 > 0$ (функция растёт)
• При $x = 2$: $y'(2) = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$ (функция растёт)

Специально проверим поведение: производная $y' = (3x-1)(x-1)$ отрицательна при $\frac{1}{3} < x < 1$ и положительна при $x > 1$. Значит, в $x=1$ функция имеет локальный минимум.

Шаг 5. Сравним значения на концах отрезка и в критической точке.

Проверим только граничные точки и критическую:

• $y(1) = 1 - 2 + 1 + 3 = 3$
• $y(4) = 64 - 32 + 4 + 3 = 39$

Поскольку функция возрастает на $[1;4]$ (производная положительна), наименьшее значение достигается в точке $x=1$.