Задача 639949. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную

Для функции $y = (x^3 - x^2 + x - 1)^2$ применим правило дифференцирования сложной функции. Если обозначить $u = x^3 - x^2 + x - 1$, то:

$$y' = 2u \cdot u' = 2(x^3 - x^2 + x - 1)(3x^2 - 2x + 1)$$

Шаг 2. Разложим первый множитель

В скобке $x^3 - x^2 + x - 1$ выделим общий множитель:

$$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)$$

Получаем: $$y' = 2(x - 1)(x^2 + 1)(3x^2 - 2x + 1)$$

Шаг 3. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда один из множителей обращается в нуль:

• $(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1$
• $(x^2 + 1) = 0$ — нет решений (сумма положительных)
• $(3x^2 - 2x + 1) = 0$ — проверим дискриминант: $D = 4 - 12 = -8 < 0$ — нет решений

Единственная критическая точка: $x = 1$

Шаг 4. Определим тип экстремума

Анализируем знак $y'$:

• При $x < 1$: множители $(x-1) < 0$, $(x^2+1) > 0$, $(3x^2-2x+1) > 0$ → $y' < 0$ (убывает)
• При $x > 1$: множители $(x-1) > 0$, $(x^2+1) > 0$, $(3x^2-2x+1) > 0$ → $y' > 0$ (возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x = 1$ — точка минимума.