Задача 77460. Исследование степенных и иррациональных функций

Исследуем функцию $y = x\sqrt{x} - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$.

Шаг 1: Найдём производную.

Переепишем функцию как $y = x^{3/2} - 3x + 1$.

Производная: $y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3$.

Это следует из правила дифференцирования степенной функции.

Шаг 2: Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 3$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$

Точка $x = 4$ лежит внутри отрезка $[1; 9]$.

Шаг 3: Определим характер критической точки.

Проверим знак производной:

• При $x = 1$: $y' = \frac{3}{2} - 3 = -1.5 < 0$ (функция убывает)
• При $x = 4$: $y' = 0$ (критическая точка)
• При $x = 9$: $y' = \frac{3}{2} \cdot 3 - 3 = 1.5 > 0$ (функция возрастает)

Итак, в точке $x = 4$ функция имеет локальный минимум.

Шаг 4: Найдём значения на отрезке.

Вычислим значения на концах и в критической точке:

• $y(1) = 1 - 3 + 1 = -1$
• $y(4) = 4 \cdot 2 - 12 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$
• $y(9) = 9 \cdot 3 - 27 + 1 = 27 - 27 + 1 = 1$

Наименьшее значение: $y(4) = -3$.