Задача 77454. Исследование степенных и иррациональных функций

Исследуем функцию $y = \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$.

Шаг 1: Найдём производную.

Дифференцируем по стандартным правилам. Для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $$y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = \sqrt{x} - 3$$

Шаг 2: Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x} - 3 = 0 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$$

Точка $x = 9$ лежит в отрезке $[1; 9]$.

Шаг 3: Определим знак производной.

Проверим знак $y'$ на интервалах:

• При $x = 1$: $y'(1) = \sqrt{1} - 3 = -2 < 0$
• При $x = 4$: $y'(4) = \sqrt{4} - 3 = -1 < 0$
• При $x = 9$: $y'(9) = 0$

Производная отрицательна или равна нулю на всём отрезке, значит функция убывает на $[1; 9]$.

Шаг 4: Найдём минимум.

Для убывающей функции наименьшее значение достигается на правом конце отрезка: $$y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} - 3 \cdot 9 + 1 = \frac{2}{3} \cdot 27 - 27 + 1 = 18 - 27 + 1 = -8$$