Задача 77448. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Находим производную функции.

Дано: $y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3}$

Дифференцируем по $x$: $$y' = 0 + 9 - \frac{3x^2}{3} = 9 - x^2$$

Константа исчезает, степени снижаются на единицу.

Шаг 2. Находим критические точки.

Производная равна нулю: $$9 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 9$$ $$x = 3 \text{ или } x = -3$$

Это точки, где функция может иметь экстремум.

Шаг 3. Определяем характер экстремума.

Проверим знаки производной на промежутках:

• При $x < -3$ (например, $x = -4$): $y' = 9 - 16 = -7 < 0$ — функция убывает

• При $-3 < x < 3$ (например, $x = 0$): $y' = 9 - 0 = 9 > 0$ — функция возрастает

• При $x > 3$ (например, $x = 4$): $y' = 9 - 16 = -7 < 0$ — функция убывает

В точке $x = -3$ производная меняет знак с отрицательного на положительный. Это означает, что функция переходит от убывания к возрастанию — характерный признак минимума.

В точке $x = 3$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, поэтому это максимум.