Задача 77461. Исследование степенных и иррациональных функций

Преобразуем функцию в более удобный для дифференцирования вид:

$$y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x + 1 = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x + 1$$

Это позволит применить стандартное правило дифференцирования степенной функции.

Найдём производную:

$$y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} - 2 = x^{1/2} - 2 = \sqrt{x} - 2$$

При дифференцировании $x^{3/2}$ получаем $\frac{3}{2}x^{1/2}$, множители $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ взаимно сокращаются.

Найдём критические точки:

Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x} - 2 = 0$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$

Область определения исходной функции: $x \geq 0$ (под корнем неотрицательное число).

Определим характер критической точки:

Проверим знаки производной на промежутках $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$:

— При $x = 1$: $y'(1) = 1 - 2 = -1 < 0$ (функция убывает)

— При $x = 9$: $y'(9) = 3 - 2 = 1 > 0$ (функция возрастает)

Производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит $x = 4$ — точка минимума.