Задача 77433. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции

$$y' = 3x^2 - 2x - 40$$

Это стандартное дифференцирование: степень понижается на 1, коэффициент умножается на показатель.

Шаг 2. Найдём критические точки

Решаем уравнение $3x^2 - 2x - 40 = 0$.

По формуле корней квадратного уравнения: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 480}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{484}}{6} = \frac{2 \pm 22}{6}$$

Получаем $x = 4$ или $x = -\frac{10}{3}$.

На отрезке $[0; 4]$ только $x = 4$ является критической точкой.

Шаг 3. Определим поведение функции

Проверим знак производной на интервале $(0; 4)$, например при $x = 0$: $$y'(0) = -40 < 0$$

Производная отрицательна, значит функция убывает на $[0; 4]$. Поэтому минимум достигается в правом конце отрезка — в точке $x = 4$.

Шаг 4. Вычислим значение функции

$$y(4) = 4^3 - 4^2 - 40 \cdot 4 + 3 = 64 - 16 - 160 + 3 = -109$$