Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Найдём производную функции $y = -\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1$.

Дифференцируем каждое слагаемое:

• Для степенной функции $-\frac{2}{3}x^{3/2}$ применим правило: производная равна $-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{1/2} = -x^{1/2} = -\sqrt{x}$
• Производная $3x$ равна $3$
• Производная константы $1$ равна $0$

Получаем: $y' = -\sqrt{x} + 3$

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$-\sqrt{x} + 3 = 0$$ $$\sqrt{x} = 3$$ $$x = 9$$

Определим знак производной на области определения $x \geq 0$:

• При $0 < x < 9$: $\sqrt{x} < 3$, поэтому $y' = -\sqrt{x} + 3 > 0$ (функция возрастает)
• При $x > 9$: $\sqrt{x} > 3$, поэтому $y' = -\sqrt{x} + 3 < 0$ (функция убывает)

Производная меняет знак с положительного на отрицательный в точке $x = 9$, что означает максимум функции в этой точке.