Задача 77452. Исследование степенных и иррациональных функций

Исследуем функцию $y = x^{3/2} - 3x + 1$ на отрезке $[1; 9]$.

Шаг 1. Найдём производную

Применим правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 3$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$

Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[1; 9]$.

Шаг 3. Определим характер экстремума

Проверим знак производной:

• При $x < 4$ (например, $x = 1$): $y'(1) = \frac{3}{2} - 3 = -1.5 < 0$ — функция убывает
• При $x > 4$ (например, $x = 9$): $y'(9) = \frac{3}{2} \cdot 3 - 3 = 1.5 > 0$ — функция возрастает

В точке $x = 4$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Шаг 4. Вычислим значения в критической точке и на концах отрезка

$$y(4) = 4^{3/2} - 3 \cdot 4 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$$ $$y(1) = 1 - 3 + 1 = -1$$ $$y(9) = 27 - 27 + 1 = 1$$

Наименьшее значение: $-3$.