Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Функция задана как $y = 7 + 6x - 2x\sqrt{x}$. Сначала переведём иррациональную часть в степенную форму: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, поэтому $2x\sqrt{x} = 2x^{3/2}$.

Шаг 1: Найдём производную.

$y' = (7)' + (6x)' - (2x^{3/2})' = 0 + 6 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - 3\sqrt{x}$

При дифференцировании $x^{3/2}$ используем правило степени: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Шаг 2: Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$6 - 3\sqrt{x} = 0$$ $$3\sqrt{x} = 6$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$

Одна критическая точка на области определения $x \geq 0$.

Шаг 3: Определим тип экстремума через знаки производной.

• При $0 < x < 4$: $\sqrt{x} < 2$, поэтому $3\sqrt{x} < 6$, значит $y' = 6 - 3\sqrt{x} > 0$ — функция возрастает.
• При $x > 4$: $\sqrt{x} > 2$, поэтому $3\sqrt{x} > 6$, значит $y' = 6 - 3\sqrt{x} < 0$ — функция убывает.

Производная меняет знак с плюса на минус, поэтому $x = 4$ — точка максимума.