Задача 126637. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции

$$y' = 3x^2 - 13x + 14$$

Это стандартное правило дифференцирования степенной функции: производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю: $$3x^2 - 13x + 14 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение. Получаем: $$x = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \quad \text{и} \quad x = 2$$

Шаг 3. Определим точки для проверки

На отрезке $[-4; 3]$ критические точки — это $x = 2$ и $x = 2\frac{1}{3}$. Поскольку функция кубическая с положительным старшим коэффициентом, она может иметь локальный максимум и минимум. Максимум на отрезке находится либо в критической точке, либо на границе.

Проверим точки $x = 2$ и $x = 3$ (правая граница отрезка).

Шаг 4. Вычислим значения функции

При $x = 2$: $$y(2) = 8 - 6,5 \cdot 4 + 14 \cdot 2 - 14 = 8 - 26 + 28 - 14 = -4$$

При $x = 3$: $$y(3) = 27 - 6,5 \cdot 9 + 14 \cdot 3 - 14 = 27 - 58,5 + 42 - 14 = -3,5$$

Шаг 5. Сравним и выберем наибольшее

$-3,5 > -4$, поэтому наибольшее значение равно $-3,5$ и достигается при $x = 3$.