Задача 77458. Исследование степенных и иррациональных функций

Найдём производную функции $y = -\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции: производная $x^{3/2}$ равна $\frac{3}{2}x^{1/2}$. Тогда: $$y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} + 3 = -\sqrt{x} + 3$$

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$$

Точка $x = 9$ лежит в отрезке $[1; 9]$, поэтому она подлежит рассмотрению.

Определим знак производной на отрезке. Для $x \in [1; 9)$: $\sqrt{x} < 3$, поэтому $y' = 3 - \sqrt{x} > 0$. Функция возрастает на всём отрезке $[1; 9]$.

Поскольку функция монотонно возрастает на отрезке, наибольшее значение достигается на правом конце: $$y(9) = -\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} + 3 \cdot 9 + 1$$

Вычислим: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$. $$y(9) = -\frac{2}{3} \cdot 27 + 27 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10$$