Задача 77459. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = x\sqrt{x} - 3x + 1$. Переwrite $\sqrt{x} = x^{1/2}$, тогда $x\sqrt{x} = x^{3/2}$.

По правилу дифференцирования степени и суммы: $$y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3$$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 3$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$

Область определения функции: $x \geq 0$ (под корнем). Критическая точка $x = 4$ входит в область определения.

Шаг 3. Определим знак производной.

• При $0 < x < 4$: $\sqrt{x} < 2$, поэтому $\frac{3}{2}\sqrt{x} < 3$, значит $y' < 0$ — функция убывает.
• При $x > 4$: $\sqrt{x} > 2$, поэтому $\frac{3}{2}\sqrt{x} > 3$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

Производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке $x = 4$ — минимум.