Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Исследуем функцию $y = -21x^2 - x^3 + 32$ на множестве всех действительных чисел.

Шаг 1: Находим производную.

Дифференцируем по $x$: $$y' = -42x - 3x^2$$

Вынесем общий множитель: $$y' = -3x(14 + x)$$

Это позволяет сразу увидеть критические точки.

Шаг 2: Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю: $$-3x(14 + x) = 0$$

Отсюда $x = 0$ или $x = -14$.

Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах.

Проверяем знак $y'$ на трёх интервалах:

• При $x < -14$ (например, $x = -15$): $y' = -3 \cdot (-15) \cdot (-1) = -45 < 0$ — функция убывает
• При $-14 < x < 0$ (например, $x = -1$): $y' = -3 \cdot (-1) \cdot 13 = 39 > 0$ — функция возрастает
• При $x > 0$ (например, $x = 1$): $y' = -3 \cdot 1 \cdot 15 = -45 < 0$ — функция убывает

Шаг 4: Определяем характер критических точек.

В точке $x = -14$ производная меняет знак с отрицательного на положительный (с минуса на плюс) — это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с положительного на отрицательный (с плюса на минус) — это точка максимума.

Ответ: точка минимума $x = -14$.