Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти точку минимума, нужно найти критические точки функции через производную.

Шаг 1. Вычислим производную

$$y' = 3x^2 - 4x + 1$$

Производную степенной функции $x^n$ находим по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$, константа при дифференцировании обращается в нуль.

Шаг 2. Найдём нули производной

Приравняем к нулю: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $$3x^2 - 4x + 1 = (3x - 1)(x - 1) = 0$$

Получаем: $x = \frac{1}{3}$ и $x = 1$

Шаг 3. Определим знак производной на интервалах

Этих точек на оси разбивается на три промежутка:

• При $x < \frac{1}{3}$: подставим $x = 0$, получим $y'(0) = 1 > 0$ (функция возрастает)
• При $\frac{1}{3} < x < 1$: подставим $x = 0,5$, получим $y'(0,5) = 0,75 - 2 + 1 = -0,25 < 0$ (функция убывает)
• При $x > 1$: подставим $x = 2$, получим $y'(2) = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$ (функция возрастает)

Шаг 4. Определим тип экстремума

В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.