ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 77440. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите точку минимума функции $y=9x в квадрате минус x в кубе .$

В подтеме 62 задач

Разбор

Главная идея: Точка минимума находится в критической точке, где производная меняет знак с отрицательного на положительный (функция переходит от убывания к возрастанию).

Чтобы найти точку минимума, нужно исследовать поведение функции с помощью производной.

Шаг 1. Найдём производную

$y = 9x^2 - x^3$

$y' = 18x - 3x^2$

Вынесем общий множитель:

$y' = 3x(6 - x)$

Шаг 2. Найдём критические точки

Производная равна нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$3x(6 - x) = 0$

Отсюда $x = 0$ или $x = 6$ .

Шаг 3. Определим знаки производной на промежутках

Разбиваем числовую прямую на три области:

При $x < 0$ : оба множителя отрицательны, $y' = (-)·(+) < 0$ — функция убывает
При $0 < x < 6$ : первый множитель положителен, второй положителен, $y' = (+)·(+) > 0$ — функция возрастает
При $x > 6$ : первый множитель положителен, второй отрицателен, $y' = (+)·(-) < 0$ — функция убывает

Шаг 4. Определим тип экстремумов

В точке $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

В точке $x = 6$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума.

Ответ: точка минимума — $x = 0$ .

Типичные ошибки

Перепутать минимум и максимум: забыть проверить, как меняется знак производной по обе стороны от критической точки
Найти только критические точки и забыть определить их тип через анализ знака производной
Ошибка в вычислении производной (например, неправильное применение правила степени или вынесение множителя)

Задача 77440. Исследование степенных и иррациональных функций

Типичные ошибки

Похожие задачи (другие числа)