Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Найдём производную функции $y = 3x^5 - 20x^3 - 54$:

$$y' = 15x^4 - 60x^2$$

Вынесем общий множитель:

$$y' = 15x^2(x^2 - 4) = 15x^2(x-2)(x+2)$$

Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

$$15x^2(x^2 - 4) = 0$$

Отсюда: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$.

На отрезке $[-4; -1]$ лежит только точка $x = -2$. Проверим знаки производной:

• При $x < -2$ (например, $x = -3$): $y' = 15 \cdot 9 \cdot (9-4) > 0$ — функция возрастает
• При $-2 < x < 0$ (например, $x = -1$): $y' = 15 \cdot 1 \cdot (1-4) < 0$ — функция убывает

Значит, $x = -2$ — точка максимума на нашем отрезке.

Вычислим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

$$y(-2) = 3 \cdot (-2)^5 - 20 \cdot (-2)^3 - 54 = 3 \cdot (-32) - 20 \cdot (-8) - 54 = -96 + 160 - 54 = 10$$

$$y(-4) = 3 \cdot (-4)^5 - 20 \cdot (-4)^3 - 54 = -3072 + 1280 - 54 = -1846$$

$$y(-1) = 3 \cdot (-1) - 20 \cdot (-1) - 54 = -3 + 20 - 54 = -37$$

Сравнивая значения: наибольшее равно 10.