ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 520207. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите наибольшее значение функции $y = x в степени 7 плюс 5x в кубе минус 16$ на отрезке [–9; 1].

В подтеме 62 задач

Разбор

Главная идея: Для поиска экстремума на отрезке нужно найти производную, определить её знак — это показывает, возрастает или убывает функция — и тогда наибольшее значение будет в точке, где функция достигает максимума или на границе отрезка.

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = x^7 + 5x^3 - 16$ .

По правилу дифференцирования степенной функции: $y' = 7x^6 + 15x^2$

Вынесем общий множитель: $y' = x^2(7x^4 + 15)$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Производная обращается в ноль, когда: $x^2(7x^4 + 15) = 0$

Поскольку $7x^4 + 15 > 0$ при любом $x$ (это сумма положительного и неотрицательного слагаемых), то равенство нулю возможно только если $x^2 = 0$ , откуда $x = 0$ .

Шаг 3. Определим характер монотонности.

Производная $y' = x^2(7x^4 + 15)$ всегда неотрицательна, так как оба множителя неотрицательны. Это значит, что функция не убывает на всей области определения. На отрезке $[-9; 1]$ функция возрастает (точка $x = 0$ не влияет на монотонность, так как производная сохраняет знак).

Шаг 4. Найдём наибольшее значение.

Поскольку функция возрастает на всём отрезке, наибольшее значение достигается на правой границе $x = 1$ : $y(1) = 1^7 + 5 \cdot 1^3 - 16 = 1 + 5 - 16 = -10$

Типичные ошибки

Забыли проверить, что выражение $7x^4 + 15$ не может быть равно нулю — оно всегда положительно
Не учли, что точка $x = 0$ находится внутри отрезка, но не является точкой максимума, так как производная не меняет знак
Ошибка в вычислении $y(1)$ : например, забыли вычесть 16 или неправильно сложили целые числа

Задача 520207. Исследование степенных и иррациональных функций

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы