Задача 642299. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = x^4 - 32x - 9$.

Производная: $y' = 4x^3 - 32$.

Вынесем общий множитель: $y' = 4(x^3 - 8)$.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$4(x^3 - 8) = 0$$ $$x^3 = 8$$ $$x = 2$$

Критическая точка только одна: $x = 2$.

Шаг 3. Определим знак производной слева и справа от критической точки.

• При $x < 2$ (например, $x = 0$): $y' = 4(0 - 8) = -32 < 0$ — функция убывает.
• При $x > 2$ (например, $x = 3$): $y' = 4(27 - 8) = 76 > 0$ — функция возрастает.

Шаг 4. Сделаем вывод о характере экстремума.

Производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке $x = 2$. Это означает, что функция переходит от убывания к возрастанию, следовательно, в этой точке находится минимум.

Ответ: $x = 2$