Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 7 + 6x - 2x^{3/2}$.

Производная степенной функции $x^n$ равна $nx^{n-1}$. Применяем это правило к каждому слагаемому:

• производная константы 7 равна 0
• производная $6x$ равна 6
• производная $-2x^{3/2}$ равна $-2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = -3\sqrt{x}$

Получаем: $y' = 6 - 3\sqrt{x}$

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$6 - 3\sqrt{x} = 0$$ $$3\sqrt{x} = 6$$ $$\sqrt{x} = 2$$ $$x = 4$$

Шаг 3. Определим характер критической точки.

Проанализируем знак производной на интервалах, разделённых точкой $x = 4$ (область определения: $x \geq 0$):

• При $0 < x < 4$ (например, $x = 1$): $y' = 6 - 3\sqrt{1} = 3 > 0$ — функция возрастает
• При $x > 4$ (например, $x = 9$): $y' = 6 - 3\sqrt{9} = -3 < 0$ — функция убывает

Производная меняет знак с плюса на минус, значит, в точке $x = 4$ функция достигает максимума.