Задача 514704. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции

Дана функция $y = x^3 - 3x + 4$. Берём производную по правилам дифференцирования степенной функции: $$y' = 3x^2 - 3$$

Вынесем общий множитель: $$y' = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$$

Шаг 2. Найдём критические точки

Производная обращается в нуль при $x = 1$ и $x = -1$. Но нам нужны точки, лежащие на отрезке $[-2; 0]$. Точка $x = 1$ находится вне отрезка, поэтому её исключаем. Остаётся только $x = -1$ — она входит в отрезок.

Шаг 3. Определим поведение функции на отрезке

Проверим знак производной на интервалах:

• При $x \in [-2; -1)$: возьмём $x = -1,5$, тогда $y' = 3(-2,5)(-0,5) > 0$ — функция возрастает
• При $x \in (-1; 0]$: возьмём $x = -0,5$, тогда $y' = 3(-1,5)(0,5) < 0$ — функция убывает

Это означает, что в точке $x = -1$ функция достигает локального максимума.

Шаг 4. Сравним значения на концах и в критической точке

Вычислим:

• $y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2$
• $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$
• $y(0) = 0 - 0 + 4 = 4$

Наибольшее значение — это $6$.