Задача 315128. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

$$y = x^5 - 5x^3 - 20x$$ $$y' = 5x^4 - 15x^2 - 20$$

Производная получается по правилу дифференцирования степенной функции.

Шаг 2. Найдём критические точки, решив $y' = 0$.

$$5x^4 - 15x^2 - 20 = 0$$

Разделим на 5: $$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$$

Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \geq 0$): $$t^2 - 3t - 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$(t - 4)(t + 1) = 0$$ $$t = 4 \text{ или } t = -1$$

Так как $t = x^2 \geq 0$, подходит только $t = 4$.

Шаг 3. Вернёмся к переменной $x$.

$$x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ или } x = -2$$

Шаг 4. Выберем точки для проверки.

На отрезке $[-6; 1]$ критические точки: $x = -2$ (точка $x = 2$ вне отрезка).

Проверим значения на концах и в критической точке:

• $x = -6$ (левый конец)
• $x = -2$ (критическая точка)
• $x = 1$ (правый конец)

Шаг 5. Вычислим значения функции.

$$y(-2) = (-2)^5 - 5(-2)^3 - 20(-2) = -32 - 5(-8) + 40 = -32 + 40 + 40 = 48$$

$$y(-6) = (-6)^5 - 5(-6)^3 - 20(-6) = -7776 + 1080 + 120 = -6576$$

$$y(1) = 1 - 5 - 20 = -24$$

Шаг 6. Выберем наибольшее.

Из трёх значений наибольшее — это $y(-2) = 48$.