Задача 77441. Исследование степенных и иррациональных функций

Для поиска наименьшего значения функции на отрезке нужно найти критические точки и сравнить значения функции в них и на границах отрезка.

Шаг 1. Находим производную. $$y' = 18x - 3x^2 = 3x(6 - x)$$ Используем правило дифференцирования степенной функции: производная $x^2$ равна $2x$, производная $x^3$ равна $3x^2$.

Шаг 2. Ищем критические точки. Производная равна нулю при $3x(6 - x) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = 6$. На отрезке $[-1; 5]$ в область определения попадает только $x = 0$ (точка $x = 6$ лежит вне отрезка).

Шаг 3. Определяем характер критической точки. Знак производной:

• При $x < 0$: $3x < 0$ и $(6 - x) > 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает.
• При $0 < x < 5$: $3x > 0$ и $(6 - x) > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает.

Число 0 — точка минимума.

Шаг 4. Вычисляем значения функции.

• В точке $x = 0$: $y(0) = 9 \cdot 0^2 - 0^3 = 0$
• На левой границе $x = -1$: $y(-1) = 9 \cdot 1 - (-1) = 9 + 1 = 10$
• На правой границе $x = 5$: $y(5) = 9 \cdot 25 - 125 = 225 - 125 = 100$

Сравнивая значения 0, 10 и 100, находим наименьшее: $0$.