Задача 77445. Исследование степенных и иррациональных функций

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно проверить критические точки внутри отрезка и значения на концах.

Шаг 1: Найдём производную.

$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 9x - 7\right) = x^2 - 9$

Шаг 2: Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$x^2 - 9 = 0$$ $$x = \pm 3$$

Оба корня совпадают с концами отрезка $[-3; 3]$.

Шаг 3: Проанализируем знак производной.

• При $x \in (-3; 3)$: возьмём $x = 0$, тогда $y' = 0 - 9 = -9 < 0$. Функция убывает на всём отрезке.

Шаг 4: Найдём значения на концах отрезка.

Поскольку функция убывает на $[-3; 3]$, наименьшее значение находится в правом конце:

$$y(3) = \frac{3^3}{3} - 9 \cdot 3 - 7 = \frac{27}{3} - 27 - 7 = 9 - 27 - 7 = -25$$

Для полноты проверим левый конец: $$y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 9 \cdot (-3) - 7 = \frac{-27}{3} + 27 - 7 = -9 + 27 - 7 = 11$$

Действительно, $-25 < 11$, поэтому наименьшее значение равно $-25$.