Задача 77449. Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции

$$y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3}$$

$$y' = 9 - x^2$$

Вычисляем производную почленно: константа 5 обращается в ноль, производная $9x$ равна 9, производная $-\frac{x^3}{3}$ равна $-x^2$.

Шаг 2. Найдём критические точки

Приравняем производную к нулю:

$$9 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$

Обе критические точки совпадают с концами отрезка $[-3; 3]$.

Шаг 3. Определим знак производной на отрезке

Для $x \in (-3; 3)$: возьмём $x = 0$, тогда $y'(0) = 9 > 0$.

Производная положительна на всём отрезке, значит функция возрастает на $[-3; 3]$.

Шаг 4. Найдём наименьшее значение

Поскольку функция возрастает на отрезке, минимум достигается в левом конце:

$$y(-3) = 5 + 9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3}$$ $$= 5 - 27 - \frac{-27}{3}$$ $$= 5 - 27 + 9 = -13$$

Ответ: −13