ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задача 77466. Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите наибольшее значение функции y= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 3x плюс 1 на отрезке левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .

В подтеме 62 задач
Разбор
Главная идея: Функция возрастает на всём отрезке, поэтому её наибольшее значение находится в правой граничной точке.

Переведём функцию к степенному виду, чтобы было удобнее работать с производной.

y=−23xx+3x+1=−23x3/2+3x+1y = -\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 3x + 1 = -\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1

Теперь найдём производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

y′=−23⋅32x1/2+3=−x1/2+3=−x+3y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} + 3 = -x^{1/2} + 3 = -\sqrt{x} + 3

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

−x+3=0-\sqrt{x} + 3 = 0 x=3\sqrt{x} = 3 x=9x = 9

Точка x=9x = 9 лежит в отрезке [1;9][1; 9].

Определим знак производной. При x∈[1;9]x \in [1; 9] имеем x∈[1;3]\sqrt{x} \in [1; 3], поэтому y′=3−x≥0y' = 3 - \sqrt{x} \geq 0 на всём отрезке. Это означает, что функция возрастает на [1;9][1; 9].

Так как функция возрастает, её наибольшее значение достигается на правом конце отрезка:

y(9)=−23⋅99+3⋅9+1=−23⋅9⋅3+27+1=−18+27+1=10y(9) = -\frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9} + 3 \cdot 9 + 1 = -\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 27 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10

Типичные ошибки

  • Забыли переписать xxx\sqrt{x} как x3/2x^{3/2} и ошиблись при дифференцировании
  • Неправильно вычислили 999\sqrt{9}, вместо 9⋅3=279 \cdot 3 = 27 получили другое число
  • Не проверили, что производная сохраняет знак на всём отрезке, а значит функция монотонна

Ещё задачи этой подтемы