ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 12Исследование степенных и иррациональных функций

Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 123.2.5 Точки экстремума функции3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции

Найдите точку минимума функции y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2x плюс 1.

В подтеме 62 задач
Разбор
Главная идея: Найти точку минимума помогает исследование знаков производной: где производная меняет знак с отрицательного на положительный, там находится локальный минимум.

Дана функция y=23x3/2−2x+1y = \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x + 1. Нужно найти точку минимума.

Шаг 1: Найдём производную.

Дифференцируем каждое слагаемое:

  • Для 23x3/2\frac{2}{3}x^{3/2}: применяем правило степенной функции (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}, получаем 23⋅32x1/2=x1/2=x\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}
  • Для −2x-2x: производная равна −2-2
  • Для константы 11: производная равна 00

Итого: y′=x−2y' = \sqrt{x} - 2

Шаг 2: Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: x−2=0\sqrt{x} - 2 = 0 x=2\sqrt{x} = 2 x=4x = 4

Шаг 3: Определим характер критической точки.

Исследуем знак производной:

  • При 0<x<40 < x < 4: например, x=1x = 1 даёт y′=1−2=−1<0y' = 1 - 2 = -1 < 0 (функция убывает)
  • При x>4x > 4: например, x=9x = 9 даёт y′=3−2=1>0y' = 3 - 2 = 1 > 0 (функция возрастает)

Производная меняет знак с минуса на плюс, значит, x=4x = 4 — точка минимума.

Типичные ошибки

  • Ошибка при дифференцировании степенной функции: забыли, что (x3/2)′=32x1/2(x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2}, а не 23x1/2\frac{2}{3}x^{1/2}
  • Решили уравнение x=2\sqrt{x} = 2 неправильно (например, написали x=2x = 2 вместо x=4x = 4)
  • Не проверили знак производной слева и справа от критической точки, неправильно определили тип экстремума
Непонятно?

Похожие задачи