Задание 12 ЕГЭ, математика (профиль): Исследование степенных и иррациональных функций

Шаг 1. Найдём производную функции.

Дана функция $y = 7 + 12x - x^3$.

Производная: $y' = 12 - 3x^2$

Это необходимо для поиска критических точек, где функция может иметь экстремум.

Шаг 2. Найдём критические точки.

Приравняем производную к нулю: $$12 - 3x^2 = 0$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$

Оба корня попадают на границы отрезка $[-2; 2]$.

Шаг 3. Определим характер экстремумов.

Анализируем знак производной:

• При $x < -2$: $y' = 12 - 3x^2 < 0$ (функция убывает)
• При $-2 < x < 2$: $y' = 12 - 3 \cdot 1 = 9 > 0$ (функция возрастает)
• При $x > 2$: $y' = 12 - 3x^2 < 0$ (функция убывает)

Следовательно, в точке $x = -2$ функция переходит от убывания к возрастанию — это локальный минимум.

Шаг 4. Вычислим значения функции на отрезке.

На отрезке $[-2; 2]$ наименьшее значение достигается либо на границах, либо в критических точках внутри.

Проверим границы: $$y(-2) = 7 + 12(-2) - (-2)^3 = 7 - 24 - (-8) = 7 - 24 + 8 = -9$$ $$y(2) = 7 + 12(2) - 2^3 = 7 + 24 - 8 = 23$$

Наименьшее значение: $y(-2) = -9$